Klausuraufgabe seziert: Löslichkeitsprodukt Bariumsulfat

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(Lesedauer: 9 bis 11 Minuten)

Eine einzelne Klausuraufgabe kann zahlreiche Grundlagen gleichzeitig abfragen. Vom Löslichkeitsprodukt bis zur Säure-Base-Chemie.Am Beispiel eines Röntgenkontrastmittels mit Bariumsulfat wird hier analysiert, welche chemischen Kenntnisse vorausgesetzt werden.

Was eine einzige Frage in der Chemie Klausur verlangt

Ein Röntgenkontrastmittel für Untersuchungen des Magen-Darm-Trakts besteht typischerweise aus einer Bariumsulfat-Suspension. Freie Bariumionen sind toxisch; als grobe toxische Dosis seien 200 mg Barium(gelöst) angegeben. Der Blutkreislauf eines Erwachsenen umfasse näherungsweise 5,0 L Blutplasma, das im Folgenden als wässrige Lösung betrachtet werden darf.

KL(Bariumsulfat)=1,0⋅10−10mol2⋅L−2K_L(\mathrm{Bariumsulfat})=1,0\cdot10^{-10} mol^2\cdot L^{-2}; M(Bariumsulfat)=233,4g⋅mol−1M(\mathrm{Bariumsulfat})= 233,4g \cdot mol^{-1}, M(Barium)=137,3g⋅mol−1M(\mathrm{Barium})=137,3 g\cdot mol^{-1} und M(Sulfat)=96g⋅mol−1M(\mathrm{Sulfat})= 96 g\cdot mol^{-1}

a) Stellen Sie die Reaktionsgleichungfür das Löslichkeitsgleichgewicht von Bariumsulfat in Wasser auf und formulieren Sie ausgehend vom MWG den Ausdruck für das Löslichkeitsprodukt.

b) Angenommen, Bariumsulfat liege im Überschuss vor und es seien keine weiteren Sulfationen zugesetzt. Berechnen Sie die Masse an gelöstem Bariumin 5,0 LBlutplasma. Vergleichen Sie mit 200 mg.

c) In manchen Präparaten ist zusätzlich Natriumsulfat enthalten. Für eine Abschätzung werde angenommen: Nur 10% der im Gleichgewicht vorliegenden Sulfationen stammen aus der Auflösung von Bariumsulfat, 90% stammen aus Natriumsulfat.
Berechnen Sie unter dieser Annahme erneut die Masse an freien Barium-Ionen in 5,0 L Blutplasma. Beurteilen Sie, wie sich der Zusatz von Natriumsulfat auf die Sicherheit des Präparats auswirkt.

d) Diskutieren Sie, warum Bariumcarbonat als Röntgenkontrastmittel ausscheidet, selbst dann, wenn sein Löslichkeitsprodukt sehr klein wäre. Formulieren Sie Ihre Argumentation mit Reaktionsgleichungen.

Lösung

In Teil a) wird zunächst verlangt, das Löslichkeitsgleichgewicht von Bariumsulfat korrekt zu formulieren. Dazu muss der Stoffname „Bariumsulfat“ in seine Summenformel BaSO₄ übersetzt und als Ionenkristall erkannt werden. Barium steht in der zweiten Hauptgruppe und bildet typischerweise Ba²⁺-Kationen; das Sulfation ist ein mehratomiges Anion, SO₄²⁻. Daraus ergibt sich für die Auflösung in Wasser die Gleichgewichtsreaktion

BaSO4(s)⇌Ba2+(aq)+SO42−(aq)\mathrm{BaSO_4 (s) \rightleftharpoons Ba^{2+} (aq) + SO_4^{2-} (aq)}

Auf Grundlage dieser Reaktionsgleichung wird das Massenwirkungsgesetz formuliert.

K=c(Ba2+)⋅c(SO42−)c(BaSO4)K=\frac{c(Ba^{2+})\cdot c(SO_4^{2-})}{c(BaSO_4)}

Formal enthält es ausschließlich Produkte und Quotienten der beteiligten Spezies; Additionen oder Subtraktionen gehören hier nicht hinein. Ein reiner Feststoff besteht zu 100 % aus sich selbst. Damit vereinfacht sich der Ausdruck zum Löslichkeitsprodukt

KL=c(Ba2+)⋅c(SO42−)K_L=c(Ba^{2+})\cdot c(SO_4^{2-})

Teil a) prüft somit also:

  • das Formulieren einer Reaktionsgleichung
  • das Massenwirkungsgesetz und erlaubte Vereinfachungen
  • Nomenklaturkenntnisse und auswendiggelernte Nichtmetalloxo-Anionen (Carbonat, Sulfat, Sulfit, Nitrat, Nitrit, Phosphat, …)

In Teil b) wird zunächst die freie Bariumionenkonzentration bestimmt. Da kein zusätzliches Sulfat zugesetzt ist, entstehen beim Lösen von Bariumsulfat äquimolare Mengen an Barium- und Sulfationen. Wir setzen also:

BaSO4(s)⇌Ba2+(aq)+SO42−(aq)\mathrm{BaSO_4(s)\rightleftharpoons Ba^{2+}(aq)+SO_4^{2-}(aq)}

Für das Löslichkeitsprodukt gilt:

KL=c(Ba2+)⋅c(SO42−)K_L=c(Ba^{2+})\cdot c(SO_4^{2-})

Da beide Konzentrationen gleich groß sind, bezeichnen wir sie beispielsweise mit s:

c(Ba2+)=c(SO42−)=sc(Ba^{2+}) = c(SO_4^{2-})=s

Damit folgt:

KL=s2=1,0⋅10−10mol2⋅L−2K_L=s^2=1{,}0\cdot 10^{-10} mol^2 \cdot L^{-2}

s=1,0⋅10−10mol2⋅L−2=1,0⋅10−5mol⋅L−1s=\sqrt{1{,}0 \cdot 10^{-10} mol^2 \cdot L^{-2}}=1{,}0 \cdot 10^{-5} mol \cdot L^{-1}

Die freie Bariumionenkonzentration beträgt also:

c(Ba2+)=1,0⋅10−5 mol⋅L−1c(Ba^{2+})=1{,}0\cdot 10^{-5}\ mol \cdot L^{-1}

Gesucht ist die Masse an gelöstem Barium in V=5,0 LV=5{,}0\ \mathrm{L}.

Die beiden Grundgleichungen für die Stoffmenge n=c⋅Vn=c\cdot V  und n=mMn=\frac{m}{M} lassen sich kombinieren zu:

m=c⋅M⋅Vm=c\cdot M\cdot V

Einsetzen der Werte:

m=1,0⋅10−5mol⋅L−1⋅137g⋅mol−1⋅5,0Lm=1{,}0\cdot 10^{-5}\, mol\cdot L^{-1} \cdot 137\, g \cdot mol^{-1} \cdot 5,0\, L

m=6,85⋅10−3g=6,85mgm=6{,}85\cdot 10^{-3}\,g = 6,85 \, mg

Damit befinden sich in 5,0 L Blutplasma etwa 6,9 mg freie Bariumionen.

Diese Aufgabe setzt keine höhere Mathematik voraus, wohl aber elementare mathematische Sicherheit. Dazu gehören das Einführen einer Hilfsgröße s, um eine Gleichung mit zwei Unbekannten auf eine Variable zu reduzieren, das sichere Anwenden und Kombinieren von Formeln (z. B. n=c⋅Vn=c\cdot V und n=mM)n=\frac{m}{M}), sowie grundlegende algebraische Umformungen. Auch das Rechnen mit Zehnerpotenzen, das Ziehen einer Quadratwurzel in wissenschaftlicher Schreibweise und einfache Kopfrechnungen wie 137⋅5137\cdot 5 sollten beherrscht werden. An vielen Universitäten, durchaus an etwa der Hälfte, werden solche Aufgaben ohne Taschenrechner gestellt. Ebenso selbstverständlich ist die sichere Umrechnung von Einheiten, etwa von 10−3g10^{-3}\,\mathrm{g} in Milligramm. Diese mathematischen Werkzeuge sind kein Zusatzstoff, sondern Teil der naturwissenschaftlichen Grundausbildung.

Was für Teil B beherrscht werden muss:

  • Substitution einer Hilfsvariablen
  • Quadratischen Zusammenhang erkennen und lösen
  • Rechnen mit Zehnerpotenzen sicher beherrschen
  • Formeln kombinieren können
  • Einheiten sauber führen und umrechnen
  • Ergebnis interpretieren

Musterlösung zu c)

Aus der Zusatzannahme:

c(SO42−)aus BaSO4=0,10c(SO42−)gesamtc(\mathrm{SO_4^{2-}})_{\text{aus } \mathrm{BaSO_4}} = 0{,}10\,c(\mathrm{SO_4^{2-}})_{\text{gesamt}}

Mit

c(SO42−)aus BaSO4=c(Ba2+)=rc(\mathrm{SO_4^{2-}})_{\text{aus } \mathrm{BaSO_4}} = c(\mathrm{Ba^{2+}})=r

folgt:

r=0,10c(SO42−)gesamt⇒c(SO42−)gesamt=10rr = 0{,}10\,c(\mathrm{SO_4^{2-}})_{\text{gesamt}} \quad\Rightarrow\quad c(\mathrm{SO_4^{2-}})_{\text{gesamt}} = 10r

Eingesetzt in das Löslichkeitsprodukt:

KL=c(Ba2+)⋅c(SO42−)gesamtK_L = c(\mathrm{Ba^{2+}})\cdot c(\mathrm{SO_4^{2-}})_{\text{gesamt}}

KL=1,0⋅10−10mol2L2=r⋅10r=10r2K_L=1{,}0\cdot 10^{-10} \frac{mol^2}{L^2}= r\cdot 10r = 10r^2

r=3,2⋅10−6molLr= {3{,}2\cdot 10^{-6}} \frac{mol}{L}

Also ist die freie Barium-Ionen-Konzentration um den Faktor 10≈3,2\sqrt{10} \approx 3,2 kleiner, als ohne Zusatz von Natriumsulfat.

Masse freie Bariumionen in V=5,0LV=5{,}0\,\mathrm{L}:

m=c⋅M⋅Vm = c\cdot M\cdot V

m=3,16⋅10−6 molL−1⋅137 gmol−1⋅5,0 Lm = 3{,}16\cdot 10^{-6}\ \mathrm{mol\,L^{-1}}\cdot 137\ \mathrm{g\,mol^{-1}}\cdot 5{,}0\ \mathrm{L}

m=2,16⋅10−3 g=2,16 mgm = 2{,}16\cdot 10^{-3}\ \mathrm{g} = 2{,}16\ \mathrm{mg}

Vergleich mit Teil b) ≈6,85mg\approx 6{,}85\,\mathrm{mg}:

6,852,16≈3,2\frac{6{,}85}{2{,}16}\approx 3{,}2

Die Masse an freien Ba2+Ba^{2+} sinkt ebenfalls um ca. Faktor 3,2. Das macht das Präparat nochmal sicherer in der Anwendung.

Das prüft Teil c) der Aufgabe:

  • Verhältnisse verstehen und korrekt mathematisch formulieren
  • Den gemeinsamen-Ionen-Effekt erkennen und seinen Einfluss auf die Löslichkeit quantitativ umsetzen

Kurzlösung zu d)

1. Löslichkeitsgleichgewicht von Bariumcarbonat:

BaCO3(s)⇌Ba2+(aq)+CO32−(aq)\mathrm{BaCO_3 (s) \rightleftharpoons Ba^{2+} (aq) + CO_3^{2-} (aq)}

2. Protonierung des Carbonat-Ions in saurer Umgebung:

CO32−(aq)+2H+(aq)→CO2(g)+H2O(l)\mathrm{CO_3^{2-} (aq)+ 2H^+(aq) \rightarrow CO_2 (g)+ H_2O}(l)

Im Magen liegt eine stark saure Lösung vor (ca. 0,3molL−10{,}3\,\mathrm{mol\,L^{-1}} HCl).

Die freien Carbonat-Ionen werden dort sofort protoniert. Da CO32−\mathrm{CO_3^{2-}} aus der Lösung entfernt wird, läuft die Auflösung von BaCO3\mathrm{BaCO_3} weiter ab, um neues Carbonat zu bilden. Dabei gehen weitere Ba2+\mathrm{Ba^{2+}}-Ionen in Lösung.

Folge: Bariumcarbonat ist im stark sauren Milieu des Magens nicht stabil. Durch die Protonierung wird CO32−\mathrm{CO_3^{2-}} fortlaufend entfernt. Nach dem Prinzip von Le Chatelier reagiert das Löslichkeitsgleichgewicht mit weiterer Auflösung von BaCO3\mathrm{BaCO_3}, sodass kontinuierlich Ba2+\mathrm{Ba^{2+}} in Lösung gelangt.

Da freie Ba2+\mathrm{Ba^{2+}}-Ionen toxisch sind, scheidet Bariumcarbonat als Kontrastmittel aus.


 Das prüft Teil d) der Aufgabe:

  • Säure-Base-Chemie: Protonierung des Carbonat-Ions in stark saurer Lösung
  • Gekoppelte Gleichgewichte verstehen
  • Prinzip von Le Chatelier korrekt anwenden
  • Chemisch argumentieren mit Reaktionsgleichungen

Fazit

In der hier dargestellten Form wird eine solche Aufgabe vermutlich nur an wenigen Universitäten gestellt werden. Sie entspricht eher einem höheren Anspruchsniveau in der Klausur „Chemie für Medizinstudierende“.

Typischer sind Aufgabenstellungen wie:

  • Berechnung des Löslichkeitsprodukts aus einer gegebenen gelösten Masse oder Stoffmenge eines schwerlöslichen Salzes,
  • Berechnung der maximal löslichen Menge bei vorgegebener Konzentration,
  • Bestimmung der noch löslichen Salzmenge in Gegenwart bereits gelöster Ionen,
  • Berechnung der Restmenge an ungelöstem Feststoff bei einfachen AB-Salzen.

Was jedoch realistisch ist: Die einzelnen Bausteine dieser Aufgabe treten regelmäßig in Klausuren auf.

Nicht alles auf einmal, aber jedes für sich. Und genau deshalb lohnt es sich, diese Kombination einmal durchzudenken. Denn sie macht sichtbar, was sicher gekonnt werden muss.