Logarithmus – Definition und Regeln

(Lesedauer: 5 bis 6 Minuten)

Das sollte bekannt sein:
Sicherer Umgang mit den Potenzgesetzen sowie saubere Äquivalenzumformungen von Gleichungen.

1. Was macht der Logarithmus?

Ein Logarithmus ist eine Umkehrrechnung zur Potenzrechnung, diesmal mit der Frage nach dem Exponenten (Hochzahl). 

Definition:

Definition:

Aus $a^x=b$ mit $a>0,\ a\neq 1$ und  b>0  folgt  $\log_a(b)=x$.

Wichtig dabei: Die Basis a ist immer größer als 0. Die Exponenten dürfen alles sein – positiv, negativ, Brüche, völlig egal. Aber egal, was man oben reinschreibt: Eine Potenz mit positiver Basis liefert immer ein positives Ergebnis. Nie 0. Nie negativ.

Mehr ist ein Logarithmus nicht.

Wichtig dabei: Die Basis a ist immer größer als 0. Die Exponenten dürfen alles sein – positiv, negativ, Brüche, völlig egal. Aber egal, was man oben reinschreibt: Eine Potenz mit positiver Basis liefert immer ein positives Ergebnis. Nie 0. Nie negativ.

2. Wie geht das?

Der Logarithmus rechnet den Exponenten aus. Das ist viel einfacher als es jetzt aussieht.

Wenn du die Gleichung $x=log_{10}(10000)$ berechnen sollst, dann wandele $10000=10^5$ in eine 10er-Potenz um.
Jetzt ist $x=log_{10}(10^5)=5$. 

In manchen Klausuren „Chemie im Medizinstudium“ gerne auch mal ohne Taschenrechner

Alleine mit der Definition von oben und ein paar auswendig gelernten Potenzen, löst du zuverlässig die meisten Log-Aufgaben. Auch ohne Taschenrechner.

Es gibt noch weitere Hilfen, die Logarithmus-Rechengesetze:

I. Produktregel: $log_a(b \cdot c)=log_a(b) + log_a(c)$

II. Quotientenregel: $\log_a\!\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a(b) – \log_a(c)$

III. Potenzregel: $log_a(b^c)=c \cdot log_a(b)$

Zwei weitere Gleichungen helfen dir, wenn du in der Klausur etwas mit dem Logarithmus berechnen musst.

Weil $a^1 = a$ ist, gilt hier $log_a(a)=1$. Das heißt, immer wenn das Argument und die Basis gleich sind, ist das Ergebnis 1.
 

Weil $a^0 = 1$ ist, gilt $log_a(1) = 0$. Das heißt, immer wenn das Argument 1 ist, ist das Ergebnis 0.

Das ist bei der Nullstellenberechnung von log-Funktionen der Weg zum Ansatz:

$log_a(4x-2)=0 \\ \Rightarrow 4x-2=1$ 

Zwei Vereinbarungen solltest du noch kennen. 

• Der Logaritmus mit der Basis 10, dekadischer Logarithmus, wird meistens nicht $log_{10}$ sonder l$g$ geschrieben. Aber im englischen Sprachraum und auf den Taschenrechner ist es $log$.
• Der Logarithmus mit der Basis $e$, der Eulersche-Zahl, ist der natürliche Logarithmus und wird nur ln geschrieben.

In beiden Fällen brauchst du die Basis nicht mitschreiben.

Bei manchen Aufgaben oder Gleichungen bspw. der Chemie hast du Quotienten im Logarithmus:
Keine Sorge: Hier geht es nicht um Chemie – sondern um den Logarithmus als Werkzeug.

• $E = E^0 + \frac{RT}{zF}\,\ln\!\left(\frac{c_{\text{ox}}}{c_{\text{red}}}\right)= E^0 – \frac{RT}{zF}\,\ln\!\left(\frac{c_{\text{red}}}{c_{\text{ox}}}\right)$
  
  
• $pH = pK_s + \,\lg\!\left(\frac{c_{\text{konj. Base}}}{c_{\text{konj. Säure}}}\right) = pK_s – \,\lg\!\left(\frac{c_{\text{konj. Säure}}}{c_{\text{konj. Base}}}\right)$
  

• Drehst du den Quotient im Logarithmus in den Kehrwert, dann wechselt das Vorzeichen vor dem log. 
  $\log_a\!\left(\frac{b}{c}\right) = \log_a\!\left(\left(\frac{c}{b}\right)^{-1}\right)=-\log_a\!\left(\frac{c}{b}\right)$
  
  Das ist Anwendung der Potenzrechengesetze.

Zum Schluss noch ein kurzer Rückblick: 

Alte Taschenrechner hatten nur eine LOG-Taste, und trotzdem konnte man jeden beliebigen Logarithmus berechnen. Der Trick heißt Basenwechsel: $\log_b(a) = \frac{\lg(a)}{\lg(b)}$
Die LOG-Taste berechnet mit dem Taschenrechner (fast) immer den 10er-Logarithmus.

3. Welche Fehler können passieren?

• Das Argument nicht in eine Potenz umschreiben oder die Potenz nicht erkennen. Das ist häufig der Grund, warum die Aufgabe schwierig ist. Abhilfe: Potenzreihen lernen! 
• Basis und Argument verwechseln. $10^x = 1000$ ist nicht $x=log_{1000}(10)$ 
• Bei der Nullstellenberechnung einer log-Funktion vergessen, dass das Argument 1 werden muss.

4. Das kannst du jetzt. 

(Mit etwas Routine…)

• Erklären, was ein Logarithmus ist (Umkehrung der Potenzrechnung).
• Aus $a^x=b$ direkt $x=\log_a(b)$ ablesen.
• Mit der Definition und den Regeln in Klausuraufgaben gesuchte Exponenten berechnen.
• Einfache Logarithmen ohne Taschenrechner berechnen.
• Produkte, Quotienten und Potenzen korrekt logarithmieren.
• Typische Klausurfehler (Basis/Argument) vermeiden.

5. „Weise“ Worte zum Abschluss 

Du hast jetzt gesehen, wie Logarithmen funktionieren. Das ist kein Hexenwerk. 

Aber eines ist klar: Wenn du ohne gelernte Potenzreihen in eine Klausur gehst, hast du beim Logarithmieren trotzdem ein Problem.

Es reicht aber, wenn du die Ergebnisse der folgenden Potenzreihen sicher erkennst:

• $2^{-6}, 2^{-5}, 2^{-4} … ,2^{10}$ , bei Halbwertszeitabschätzungen (… wann ist ein Wirkstoff nur noch zu 12,5 % vorhanden, die Halbwertzeit ist …)
• $3^{-4}, …, 3^4$
• $4^{-4}, …, 4^4$
• $5^{-4}, …, 5^4$
• $10^{-n}, …, 10^n$ , bei Rechnungen mit typischen Konzentrationen (pH-Wert, Nernst-Gleichung, …)

Konkret heißt das: Wenn du Zahlen einer Potenzreihe zuordnen kannst, ist es gut genug. Den genauen Exponenten kannst du dann abzählen.